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欧几里德证明勾股定理方法

时间:2024-04-02    点击: 次    来源:公映许可证    作者:2233323.com - 小 + 大

本文我们将介绍勾股定理的欧几里得证法。这个证法是欧几里得在其所著的《几何原本》中给出的。下面我们来具体了解这种证法。

如图,分别以直角三角形ABC的三条边为边向外作三个正方形——正方形ACHK、正方形BCGF、正方形ABED。

证明的基本思路是去证明正方形ACHK与正方形BCGF的面积之和恰好等于正方形ABED的面积。

具体过程如下图:

上述过程可概括为将正方形ACHK与相应矩形ADMN的面积分别转化为一对全等的三角形——三角形KAB与三角形CAD的面积,将正方形BCGF与相应矩形BEMN的面积也分别转化为一对全等的三角形——三角形FBA与三角形CBE的面积。

这样就有正方形ACHK与相应矩形ADMN以及正方形BCGF与相应矩形BEMN的面积分别相等,进而有正方形ACHK与正方形BCGF的面积之和恰好等于正方形ABED的面积。勾股定理就得到了证明。

最后,我们来比较一下欧几里得证法中出现的这个平面图形与前面介绍的证法中出现的平面图形。

先来看欧几里得证法中出现的这个平面图形

它由四个部分构成,中间一个直角三角形,在直角三角形的外侧有三个分别以这个直角三角形的边为边的正方形。这个平面图形包含证明勾股定理的全部四个要素,我们称它为全要素图

接着,我们来看前面介绍的证法中出现的三个图形——商高积矩图、赵爽弦图与青朱出入图。

先看商高积矩图

商高积矩图

它包含两个要素——直角三角形与以直角三角形的斜边为边的正方形,它不是全要素图。

再来看赵爽弦图:

赵爽弦图

它也只包含两个要素——直角三角形与以直角三角形的斜边为边的正方形,它也不是全要素图。

再接着看青朱出入图:

青朱出入图

它包含全部四个要素,它是全要素图。它的四个要素的相对位置,体现了它们之间的相互关系,但由于四个要素相互重叠,增加了它们之间的相互制约性。

最后,我们再回看欧几里得全要素图。

欧几里得全要素图

它的四个要素的相对位置,体现了它们之间的相互关系,但它的四个要素没有相互重叠,降低了它们之间的相互制约性。

因此,从欧几里得全要素图,更容易衍生出新的证法。

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